===== 齿轮的受力 =====


齿轮副在传动动力时, 齿轮上产生作用力。在图12.1所示的正交座标系中, 如果设 Ｚ 轴为齿轮轴的话, X 轴方向的作用力为切向力(圆周方向) Ft (N)、 Y 轴方向的作用力为径向力(半径方向) Fr (N)、 Z 轴方向的作用力为[[齿轮知识:齿轮术语集:齿轮的轴向推力|轴向力]] Fx (N) 或称为推力(N)。这些作用力对决定齿轮的形状、轴、轴承的尺寸是非常重要的。

表12.1 中示意了各种齿轮轮齿受力的计算关系式。转矩 T 及 T1 的单位是 N・m 。

{{ :gear:techref:chapter12_schematic_diagram_of_the_forces_on_the_gear_teeth.jpg?nolink | 图12.1 轮齿的受力示意图 }}

**图12.1 轮齿的受力示意图****表12.1 齿轮的作用力计算关系式一览表**

| 齿轮的种类 || F<sub>t</sub> ：切向力 | F<sub>x</sub> ：轴向力 | F<sub>r</sub> ：径向力 |
| 正齿轮 || F<sub>t</sub> = 2000T / d |  | F<sub>t</sub> tan α |
| 斜齿齿轮 || ::: | F<sub>t</sub> tan β | {{ :gear:techref:chapter12_formula_12.01_01.jpg?nolink | 公式 12.1 }} |
| 直齿锥齿轮 || F<sub>t</sub> = 2000T / d<sub>m</sub>\\ 其中 d<sub>m</sub>\\ 是中央分度圆直径\\ d<sub>m</sub> = d − b sin δ | F<sub>t</sub> tan α sin δ | F<sub>t</sub> tan α sin δ |
| 弧齿锥齿轮 || ::: | 凸齿面为工作面时: ||
| ::: | | ::: | {{ :gear:techref:chapter12_formula_12.01_02.jpg?nolink | 公式 12.1 }} | {{ :gear:techref:chapter12_formula_12.01_03.jpg?nolink | 公式 12.1 }} |
| ::: | | ::: | 凹齿面为工作面时: ||
| ::: | | ::: | {{ :gear:techref:chapter12_formula_12.01_04.jpg?nolink | 公式 12.1 }} | {{ :gear:techref:chapter12_formula_12.01_05.jpg?nolink | 公式 12.1 }} |
| 蜗杆\\ 蜗轮 | 蜗 杆\\ （驱动） | F<sub>t1</sub> = 2000T<sub>1</sub> / d<sub>1</sub> | {{ :gear:techref:chapter12_formula_12.01_06.jpg?nolink | 公式 12.1 }} | {{ :gear:techref:chapter12_formula_12.01_07.jpg?nolink | 公式 12.1 }} |
| ::: | 蜗轮\\ （被动） | {{ :gear:techref:chapter12_formula_12.01_08.jpg?nolink | 公式 12.1 }} | F<sub>t1</sub> | ::: |
| 交错轴\\ 斜齿齿轮 {{ :gear:techref:chapter12_formula_12.01_09.jpg?nolink | 公式 12.1 }} | 驱动齿轮 | F<sub>t1</sub> = 2000T<sub>1</sub> / d<sub>1</sub> | {{ :gear:techref:chapter12_formula_12.01_10.jpg?nolink | 公式 12.1 }} | {{ :gear:techref:chapter12_formula_12.01_11.jpg?nolink | 公式 12.1 }} |
| ::: | 被动齿轮 | {{ :gear:techref:chapter12_formula_12.01_12.jpg?nolink | 公式 12.1 }} | F<sub>t1</sub> | ::: |

==== 12.1 平行轴齿轮 ====

图12.2 是斜齿齿轮轮齿受力示意图。\\ 螺旋角越大, 推力(轴向力) 也越大。在正齿轮的情况下, 不产生轴向力。

{{ :gear:techref:chapter12_num1.jpg?nolink | 图片代表 1 }}

驱动齿轮为右旋小齿轮\\ 被动齿轮为左旋大齿轮

{{ :gear:techref:chapter12_arrow-img.jpg?nolink | 箭头符号 }}

{{ :gear:techref:chapter12_table_12.2_01.jpg?nolink | 图12.2 斜齿齿轮的旋转方向与轮齿受力 }}

{{ :gear:techref:chapter12_num2.jpg?nolink | 图片代表 2 }}

驱动齿轮为左旋小齿轮\\ 被动齿轮为右旋大齿轮

{{ :gear:techref:chapter12_arrow-img.jpg?nolink | 箭头符号 }}

{{ :gear:techref:chapter12_table_12.2_02.jpg?nolink | 图12.2 斜齿齿轮的旋转方向与轮齿受力 }}

**图12.2 斜齿齿轮的旋转方向与轮齿受力****表12.2 计算例（正齿轮）**

| № | 规格 | 代号 | 单位 | 计算公式 | 正齿轮 ||
| ::: | ::: | ::: | ::: | ::: | 小齿轮 | 大齿轮 |
| 1 | 模数 | m | mm | 设定值 | 2 ||
| 2 | 法向压力角 | α<sub>n</sub> | 度 | ::: | 20° ||
| 3 | 齿数 | z | — | ::: | 20 | 40 |
| 4 | 螺旋角 | β | 度 | ::: | 0 ||
| 5 | 输入转矩 | T<sub>1</sub> | N·m | ::: | 2 | — |
| 6 | 分度圆直径 | d | mm | zm | 40 | 80 |
| 7 | 切向力 | F<sub>t</sub> | N | 2000T / d | 100.0 ||
| 8 | 轴向力 | F<sub>x</sub> | ::: | — | 0 ||
| 9 | 径向力 | F<sub>r</sub> | ::: | F<sub>t</sub> tan α | 36.4 ||
| 10 | 输出转矩 | T<sub>2</sub> | N·m | F<sub>t</sub> d<sub>2</sub> / 2000 | — | 4 |

==== 12.2 相交轴齿轮 ====

[[齿轮知识:齿轮术语集:轴交角|轴交角]] Σ ＝ 90°的直齿锥齿轮啮合时, 作用于驱动齿轮的轴向力 Fx1 和作用于被动齿轮的径向力 Fr2 相同。\\ 同样, 作用于驱动齿轮的径向力 Fr1 和被动齿轮的轴向力 Fx2 也相同。

{{ :gear:techref:chapter12_formula_12.1.jpg?nolink | 公式 12.1 }}

=== （1）直齿锥齿轮 ===

直齿锥齿轮的轮齿受力如图12.3 所示。

驱动齿轮为小齿轮\\ 被动齿轮为大齿轮

{{ :gear:techref:chapter12_arrow-img.jpg?nolink | 箭头符号 }}

{{ :gear:techref:chapter12_table_12.3.jpg?nolink | 图12.3 直齿锥齿轮的旋转方向与轮齿受力 }}

**图12.3 直齿锥齿轮的旋转方向与轮齿受力**

=== （2）弧齿锥齿轮 ===

弧齿锥齿轮, 有凸齿面及凹齿面, 工作面不同, 轮齿所受的作用力也不同。齿轮的螺旋方向、旋转方向及啮合齿面之间的关系如表12.5 所示。\\ 弧齿锥齿轮的轮齿受力如图12.5 所示。弧齿锥齿轮的轴向力Fx 会出现负值, 此时, 齿轮在相互接近方向受力。\\ 需要设计能够承受负值轴向力的轴承。轴向的间隙过大时, 可能造成无齿隙啮合状态。

**表12.3 计算例（斜齿齿轮）**

| № | 规格 | 代号 | 单位 | 计算公式 | 正齿轮 ||
| ::: | ::: | ::: | ::: | ::: | 小齿轮 | 大齿轮 |
| 1 | 端面模数 | m<sub>t</sub> | mm | 设定值 | 2 ||
| 2 | 端面压力角 | α<sub>t</sub> | 度 | ::: | 20° ||
| 3 | 齿数 | z | — | ::: | 20 | 40 |
| 4 | 螺旋角 | β | 度 | ::: | 21.5° ||
| 5 | 输入转矩 | T<sub>1</sub> | N·m | ::: | 2 | — |
| 6 | 法向压力角 | α<sub>n</sub> | 度 | tan<sup>-1</sup>(tan α<sub>t</sub> cos β) | 18.70838° ||
| 7 | 分度圆直径 | d | mm | zm<sub>t</sub> | 40 | 80 |
| 8 | 切向力 | F<sub>t</sub> | N | 2000T / d | 100.0 ||
| 9 | 轴向力 | F<sub>x</sub> | ::: | F<sub>t</sub> tan β | 39.4 ||
| 10 | 径向力 | F<sub>r</sub> | ::: | {{ :gear:techref:chapter12_formula_12.3_01.jpg?nolink | 表 12.3 }} | 36.4 ||
| 11 | 输出转矩 | T<sub>2</sub> | N·m | F<sub>t</sub> d<sub>2</sub> / 2000 | — | 4 |

**表12.4 计算例（直齿锥齿轮）**

| № | 规格 | 代号 | 单位 | 计算公式 | 直齿锥齿轮 ||
| ::: | ::: | ::: | ::: | ::: | 小齿轮 | 大齿轮 |
| 1 | 轴交角 | Σ | 度 | 设定值 | 90° ||
| 2 | 模数 | m<sub>t</sub> | mm | ::: | 2 ||
| 3 | 压力角 | α | 度 | ::: | 20° ||
| 4 | 齿数 | z | — | ::: | 20 | 40 |
| 5 | 螺旋角 | β | 度 | ::: | 0° ||
| 6 | 齿宽 | b | mm | ::: | 15 ||
| 7 | 输入转矩 | T<sub>1</sub> | N·m | ::: | 1.6646 | — |
| 8 | 分度圆直径 | d | mm | zm | 40 | 80 |
| 9 | 分度圆锥角 | δ<sub>1</sub>•δ<sub>2</sub> | 度 | {{ :gear:techref:chapter12_formula_12.4_01.jpg?nolink | 表 12.4 }} | 26.56505 | 63.43495 |
| 10 | 中央分度圆直径 | d<sub>m</sub> | mm | d − b sin δ | 33.292 | 66.584 |
| 11 | 切向力 | F<sub>t</sub> | N | 2000T / d<sub>m</sub> | 100.0 ||
| 12 | 轴向力 | F<sub>x</sub> | ::: | F<sub>t</sub> tan α sin δ | 16.3 | 32.6 |
| 13 | 径向力 | F<sub>t</sub> | ::: | F<sub>t</sub> tan α cos δ | 32.6 | 16.3 |
| 14 | 输出转矩 | T<sub>2</sub> | N·m | F<sub>t</sub> d<sub>m2</sub> / 2000 | — | 3.329 |

{{ :gear:techref:chapter12_convex_and_concave.jpg?nolink | 图12.4 弧齿锥齿轮的凸齿面和凹齿面 }}

**图12.4 弧齿锥齿轮的凸齿面和凹齿面****表12.5 啮合齿面一览表**

| 驱动齿轮 ||| 被动齿轮 |||
| 螺旋方向 | 旋转方向 | 啮合齿面 | 啮合齿面 | 旋转方向 | 螺旋方向 |
| L | CW | 凹 | 凸 | CCW | R |
| ::: | CCW | 凸 | 凹 | CW | ::: |
| CCW | 凹 | 凸 | CW | | |

Σ = 90°、α<sub>n</sub> = 20°、β<sub>m</sub> = 35°、z<sub>2</sub> /z<sub>1</sub> < 1.57357

{{ :gear:techref:chapter12_num1.jpg?nolink | 图片代表 1 }}

驱动齿轮左旋齿小齿轮\\ 被动齿轮右旋齿大齿轮

{{ :gear:techref:chapter12_arrow-img.jpg?nolink | 箭头符号 }}

{{ :gear:techref:chapter12_table_12.5_01.jpg?nolink | 图12.5 弧齿锥齿轮的旋转方向与轮齿的受力 }}

{{ :gear:techref:chapter12_num2.jpg?nolink | 图片代表 2 }}

驱动齿轮右旋齿小齿轮\\ 被动齿轮左旋齿大齿轮

{{ :gear:techref:chapter12_arrow-img.jpg?nolink | 箭头符号 }}

{{ :gear:techref:chapter12_table_12.5_02.jpg?nolink | 图12.5 弧齿锥齿轮的旋转方向与轮齿的受力 }}

Σ = 90°、α<sub>n</sub> = 20°、β<sub>m</sub> = 35°、z<sub>2</sub> /z<sub>1</sub> ≥ 1.57357

{{ :gear:techref:chapter12_num1.jpg?nolink | 图片代表 1 }}

驱动齿轮左旋齿小齿轮\\ 被动齿轮右旋齿大齿轮

{{ :gear:techref:chapter12_arrow-img.jpg?nolink | 箭头符号 }}

{{ :gear:techref:chapter12_table_12.5_03.jpg?nolink | 图12.5 弧齿锥齿轮的旋转方向与轮齿的受力 }}

{{ :gear:techref:chapter12_num2.jpg?nolink | 图片代表 2 }}

驱动齿轮右旋齿小齿轮\\ 被动齿轮左旋齿大齿轮

{{ :gear:techref:chapter12_arrow-img.jpg?nolink | 箭头符号 }}

{{ :gear:techref:chapter12_table_12.5_04.jpg?nolink | 图12.5 弧齿锥齿轮的旋转方向与轮齿的受力 }}

**图12.5 弧齿锥齿轮的旋转方向与轮齿的受力****表12.6 计算例（弧齿锥齿轮）**

| № | 规格 | 代号 | 单位 | 计算公式 || 弧齿锥齿轮 ||
| ::: | ::: | ::: | ::: | ::: | | 小齿轮 | 大齿轮 |
| 1 | 轴交角 | Σ | 度 | 设定值 || 90° ||
| 2 | 端面模数 | m<sub>t</sub> | mm | ::: | | 2 ||
| 3 | 法向压力角 | α<sub>n</sub> | 度 | ::: | | 20° ||
| 4 | 齿数 | z | — | ::: | | 20 | 40 |
| 5 | 螺旋角 | β | 度 | ::: | | 35° ||
| 6 | 齿宽 | b | mm | ::: | | 15 ||
| 7 | 输入转矩 | T<sub>1</sub> | N·m | ::: | | 1.6646 | — |
| 8 | 分度圆直径 | d | mm | zm || 40 | 80 |
| 9 | 分度圆锥角 | δ<sub>1</sub>•δ<sub>2</sub> | 度 | {{ :gear:techref:chapter12_formula_12.6_01.jpg?nolink | 表 12.6 }} | Σ − δ<sub>1</sub> | 26.56505 | 63.43495 |
| 10 | 中央分度圆直径 | d<sub>m</sub> | mm | d − b sin δ || 33.292 | 66.584 |
| 11 | 切向力 | F<sub>t</sub> | N | 2000T / d<sub>m</sub> || 100.0 ||
|  |||| 啮合齿面 || 凸齿面 | 凹齿面 |
| 12 | 轴向力 | F<sub>x</sub> | N | {{ :gear:techref:chapter12_formula_12.6_02.jpg?nolink | 表 12.6 }} | {{ :gear:techref:chapter12_formula_12.6_03.jpg?nolink | 表 12.6 }} | – 42.8 | 71.1 |
| 13 | 径向力 | F<sub>r</sub> | ::: | {{ :gear:techref:chapter12_formula_12.6_04.jpg?nolink | 表 12.6 }} | {{ :gear:techref:chapter12_formula_12.6_05.jpg?nolink | 表 12.6 }} | 71.1 | – 42.8 |
|  |||| 啮合齿面 || 凹齿面 | 凸齿面 |
| 14 | 轴向力 | F<sub>x</sub> | N | {{ :gear:techref:chapter12_formula_12.6_06.jpg?nolink | 表 12.6 }} | {{ :gear:techref:chapter12_formula_12.6_07.jpg?nolink | 表 12.6 }} | 82.5 | 8.4 |
| 15 | 轴向力 | F<sub>r</sub> | ::: | {{ :gear:techref:chapter12_formula_12.6_08.jpg?nolink | 表 12.6 }} | {{ :gear:techref:chapter12_formula_12.6_09.jpg?nolink | 表 12.6 }} | 8.4 | 82.5 |
| 16 | 输出转矩 | T<sub>2</sub> | N·m | — | {{ :gear:techref:chapter12_formula_12.6_10.jpg?nolink | 表 12.6 }} | — | 3.329 |

==== 12.3 交错轴齿轮 ====

=== （1）蜗杆蜗轮 ===

图12.6 示意了轴交角 Σ ＝ 90°的蜗杆副中, 轮齿的受力方向。因为蜗杆蜗轮的动力传动大部分为滑动接触,所以齿面的摩擦系数对传动效率 ηR 及齿轮的受力有很大的影响。

{{ :gear:techref:chapter12_formula_12.02.jpg?nolink | 公式 12.2 }}

{{ :gear:techref:chapter12_num1.jpg?nolink | 图片代表 1 }}

右旋蜗杆蜗轮

驱动齿轮为蜗杆\\ 被动齿轮为蜗轮

{{ :gear:techref:chapter12_arrow-img.jpg?nolink | 箭头符号 }}

{{ :gear:techref:chapter12_table_12.6_01.jpg?nolink | 图12.6 蜗杆蜗轮的旋转方向及轮齿受力 }}

{{ :gear:techref:chapter12_num2.jpg?nolink | 图片代表 2 }}

左旋蜗杆蜗轮

驱动齿轮为蜗杆\\ 被动齿轮为蜗轮

{{ :gear:techref:chapter12_arrow-img.jpg?nolink | 箭头符号 }}

{{ :gear:techref:chapter12_table_12.6_02.jpg?nolink | 图12.6 蜗杆蜗轮的旋转方向及轮齿受力 }}

**图12.6 蜗杆蜗轮的旋转方向及轮齿受力****表12.7 计算例（蜗杆蜗轮）**

| № | 规格 | 代号 | 单位 | 计算公式 || 蜗杆蜗轮 ||
| ::: | ::: | ::: | ::: | ::: | | 蜗杆 | 蜗轮 |
| 1 | 轴交角 | Σ | 度 | 设定值 || 90° ||
| 2 | 轴向/端面模数 | m<sub>x</sub> • m<sub>t</sub> | mm | ::: | | 2 ||
| 3 | 法向压力角 | α<sub>n</sub> | 度 | ::: | | 20° ||
| 4 | 齿数 | z | — | ::: | | 1 | 20 |
| 5 | 分度圆直径\\ （蜗杆） | d<sub>1</sub> | mm | ::: | | 31 | — |
| 6 | 摩擦系数 | μ | — | ::: | | 0.05 ||
| 7 | 输入转矩 | T<sub>1</sub> | N·m | ::: | | 1.550 | — |
| 8 | 分度圆直径\\ （蜗轮） | d<sub>2</sub> | mm | — | z<sub>2</sub> m<sub>t</sub> | — | 40 |
| 9 | 导程角 | γ | 度 | {{ :gear:techref:chapter12_formula_12.7_01.jpg?nolink | 表 12.7 }} || 3.69139° ||
| 10 | 切向力 | F<sub>t1</sub>•F<sub>t2</sub> | N | 2000T<sub>1</sub> / d<sub>1</sub> | {{ :gear:techref:chapter12_formula_12.7_02.jpg?nolink | 表 12.7 }} | 100.0 | 846.5 |
| 11 | 轴向力 | F<sub>x</sub> | ::: | {{ :gear:techref:chapter12_formula_12.7_03.jpg?nolink | 表 12.7 }} | F<sub>t1</sub> | 846.5 | 100.0 |
| 12 | 径向力 | F<sub>r</sub> | ::: | {{ :gear:techref:chapter12_formula_12.7_04.jpg?nolink | 表 12.7 }} || 309.8 ||
| 13 | 效率 | η<sub>R</sub> | — | {{ :gear:techref:chapter12_formula_12.7_05.jpg?nolink | 表 12.7 }} || 0.546 ||
| 14 | 输出转矩 | T<sub>2</sub> | N·m | — | F<sub>t2</sub> d<sub>2</sub> / 2000 | — | 16.930 |

=== （2）交错轴斜齿轮 ===

基本上与蜗杆蜗轮的思考方法相同。\\ 图12.7 示意了轴交角 Σ ＝ 90°, 圆螺旋角为 β ＝ 45 度的交错轴斜齿轮轮齿受力情况。

{{ :gear:techref:chapter12_num1.jpg?nolink | 图片代表 1 }}

右旋齿交错轴斜齿轮

小齿轮驱动\\ 大齿轮被动

{{ :gear:techref:chapter12_arrow-img.jpg?nolink | 箭头符号 }}

{{ :gear:techref:chapter12_table_12.7_01.jpg?nolink | 图12.7 交错轴斜齿轮的旋转方向及轮齿受力 }}

{{ :gear:techref:chapter12_num2.jpg?nolink | 图片代表 2 }}

左旋齿交错轴斜齿轮

小齿轮驱动\\ 大齿轮被动

{{ :gear:techref:chapter12_arrow-img.jpg?nolink | 箭头符号 }}

{{ :gear:techref:chapter12_table_12.7_02.jpg?nolink | 图12.7 交错轴斜齿轮的旋转方向及轮齿受力 }}

**图12.7 交错轴斜齿轮的旋转方向及轮齿受力****表12.8 计算例（交错轴斜齿轮）**

| № | 规格 | 代号 | 单位 | 计算公式 || 交错轴斜齿轮 ||
| ::: | ::: | ::: | ::: | ::: | | 小齿轮 | 大齿轮 |
| 1 | 轴交角 | Σ | 度 | 设定值 || 90° ||
| 2 | 法向模数 | m<sub>n</sub> | mm | ::: | | 2 ||
| 3 | 法向压力角 | α<sub>n</sub> | 度 | ::: | | 20° ||
| 4 | 齿数 | z | — | ::: | | 13 | 13 |
| 5 | 螺旋角 | β | 度 | ::: | | 45° ||
| 6 | 摩擦系数 | μ | — | ::: | | 0.05 ||
| 7 | 输入转矩 | T<sub>1</sub> | N·m | ::: | | 1.838 | — |
| 8 | 分度圆直径 | d | mm | zm<sub>n</sub> / cos β || 36.770 | 36.770 |
| 9 | 切向力 | F<sub>t1</sub>•F<sub>t2</sub> | N | 2000T<sub>1</sub> / d<sub>1</sub> | {{ :gear:techref:chapter12_formula_12.8_01.jpg?nolink | 表 12.8 }} | 100.0 | 89.9 |
| 10 | 轴向力 | F<sub>x</sub> | ::: | {{ :gear:techref:chapter12_formula_12.8_02.jpg?nolink | 表 12.8 }} | F<sub>t1</sub> | 89.9 | 100.0 |
| 11 | 径向力 | F<sub>r</sub> | ::: | {{ :gear:techref:chapter12_formula_12.8_03.jpg?nolink | 表 12.8 }} || 48.9 ||
| 12 | 效率 | η | — | T<sub>2</sub> z<sub>1</sub> / T<sub>1</sub> z<sub>2</sub> || 0.899 ||
| 13 | 输出转矩 | T<sub>2</sub> | N·m | — | F<sub>t2 </sub>d<sub>2 / 2000</sub> | — | 1.653 |

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